Racine n-ième (2) - Corrigé

Énoncé

Calculer les racines sixièmes de 64.

S olution

On a $\begin{array}{r}64=64{\text{e}}^{0i}.\end{array}$

Soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ de forme exponentielle $z=r{\text{e}}^{i\theta }$ avec  $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$ .

On a :
$\begin{array}{rl}{z}^6=64⟺(r{\text{e}}^{i\theta }{)}^6=64{\text{e}}^{0i}⟺r^6{\text{e}}^{6i\theta }=64{\text{e}}^{0i}& ⟺\{\begin{array}{c}{r}^6=64\\ 6\theta \equiv 0[2\pi ]\end{array}\\ & ⟺\{\begin{array}{c}r=\sqrt[6]{64}=2\\ \theta \equiv 0\left[{\displaystyle \frac{2\pi }{6}}\right]\end{array}\end{array}$
donc les racines sixièmes de 64 sont :

• $2{\text{e}}^{0i}=2$
  
• $2{\text{e}}^{i(0+\frac{2\pi }{6})}=2{\text{e}}^{\frac{i\pi }{3}}$
  
• $2{\text{e}}^{i(\frac{2\pi }{6}+\frac{2\pi }{6})}=2{\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}$
  
• $2{\text{e}}^{i(\frac{4\pi }{6}+\frac{2\pi }{6})}=2{\text{e}}^{i\pi }=-2$
  
• $2{\text{e}}^{i(\frac{6\pi }{6}+\frac{2\pi }{6})}=2{\text{e}}^{\frac{4i\pi }{3}}$
  
• $2{\text{e}}^{i(\frac{8\pi }{6}+\frac{2\pi }{6})}=2{\text{e}}^{\frac{5i\pi }{3}}$